Հանրահաշիվ

=x2ֆունկցիայի գրաֆիկըԴիտարկենք y=x2 ֆունկցիան և կառուցենք նրա գրաֆիկը:x անկախ փոփոխականին տանք մի քանի արժեքներ և հաշվենք ֆունկցիայի արժեքը՝ y -ը այդ դեպքերում (y=x2 բանաձևով):Եթեx=0,ապաy=02=0,եթեx=1,ապաy=12=1,եթեx=2,ապաy=22=4,եթեx=3,ապաy=32=9,եթեx=−1,ապաy=(−1)2=1,եթեx=−2,ապաy=(−2)2=4,եթեx=−3,ապաy=(−3)2=9Կազմեցինք հետևյալ աղյուսակը:

x0123−1−2−3
y0149149

xOy կոորդինատային հարթության վրա կառուցենք ստացված (0;0);(1;1);(2;4);(3;9);(−1;1);(−2;4);(−3;9) կետերը: Այս կետերը գտնվում են որոշ կորի վրա: Սա հենց y=x2 ֆունկցիայի գրաֆիկն է:

parabola.png

y=x2 ֆունկցիայի գրաֆիկը անվանում են պարաբոլ:Թվարկենք գրաֆիկից բխող պարաբոլի մի քանի հատկություններ:1) y -երի առանցքը հանդիսանում է y=x2 պարաբոլի համաչափության առանցք: Համաչափության առանցքը պարաբոլը բաժանում է երկու մասի, որոնք անվանում են պարաբոլի ճյուղեր:2) Համաչափության y -երի առանցքը պարաբոլը հատում է որոշակի կետում: Դա այն կետն է, որտեղ միանում են պարաբոլի երկու ճյուղերը: Դա \((0;0)\ կետն է: Այն անվանում են պարաբոլի գագաթ:Սովորաբար, ասում են, որ աբսցիսների առանցքը շոշափում է պարաբոլը:

y=x√ ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար, սովորականի պես, xանկախ փոփոխականին տանք մի քանի դրական արժեքներ (x<0 դեպքումx√իմաստ չունի) և հաշվենք y կախյալ փոփոխականի համապատասխան արժեքները: Հարմարության համար կընտրենք x -ի այնպիսի արժեքներ, որոնց դեպքում ճշգրիտ որոշվում է քառակուսի արմատի արժեքը: Այսպիսով՝եթե x=0, ապա y=0√=0եթե x=1, ապա y=1√=1եթե x=4, ապա y=4√=2եթե x=6,25, ապա y=6.25−−−−√=2.5եթե x=9, ապա y=9√=3Արդյունքում, լրացրինք հետևյալ աղյուսակը:

x0146.259
y0122.53

Կոորդինատական հարթության վրա կառուցենք գտնված (0;0),(1;1),(4;2),(6.25;2.5),(9;3)կետերը: Դրանք գտնվում են որոշ կորի վրա: Գծենք այն:

1.png

Ստացանք y=x√ ֆունկցիայի գրաֆիկը:Գրաֆիկը շոշափում է y -երի առանցքը (0;0) կետում:y=x√ ֆունկցիայի հատկություններըՀատկությունները թվարկելիս կհիմնվենք կառուցված գրաֆիկի վրա:1. Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը [0;+∞) ճառագայթն է:2. y=0 եթե x=0 և y>0 եթե x>03. Ֆունկցիան աճում է [0;+∞) ճառագայթի վրա:4. Ֆունկցիան սահմանափակ է ներքևից, բայց սահմանափակ չէ վերևից:5.Ֆունկցիան ունի փոքրագույն արժեք և չունի մեծագույն արժեք ymin=0, եթե x=0 և ymaxգոյություն չունի6. Ֆունկցիան անընդհատ է [0;+∞) ճառագայթի վրա:7. Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը օրդինատների առանցքի դրական ճառագայթն է՝ [0;+∞)

x ոչ բացասական թվի բացարձակ արժեք կամ մոդուլ անվանում են հենց xթիվը՝ |x|=x: Բացասական x թվի մոդուլ կոչվում է նրա հակադիր թիվը՝ |x|=−x:Ավելի կարճ գրում են այսպես՝ |x|={x,եթեx≥0−x,եթեx<0Օրինակ՝|5|=5|−5|=−(−5)=5|−3.7|=−(−3.7)=3.7Մոդուլի հատկությունները

1.|a|≥02.|ab|=|a|⋅|b|3.∣∣ab∣∣=|a||b|4.|a|2=a25.|a|=|−a|a2−−√=|a| նույնությունըԳիտենք, որ, եթե a≥0,ապաa2−−√=a: Ինչպե՞ս վարվել, եթե a<0:Գրել, որ a2−−√=a այս դեպքում չի կարելի: Իրոք, քանի որ a<0, ապա կստանանք, որ a2−−√<0: Սա ճիշտ չէ, քանի որ քառակուսի արմատի արժեքը բացասական լինել չի կարող:Իսկ ինչի՞ է հավասար a2−−√ արտահայտությունը, a<0 դեպքում: Ըստ սահմանման, պատասխանում պիտի ստացվի այնպիսի թիվ, որը պիտի լինի դրական և նրա քառակուսին պետք է հավասար լինի արմատատակ թվին, այսինքն՝ a2 -ուն: Այդպիսին է −a թիվը:Իրոք՝1. −a>0 (հիշենք, որ a -ն բացասական է, ուրեմն՝ −a -ն դրական թիվ է):2.(−a)2=a2Այսպիսով՝ a2−−√={a, եթե a≥0−a, եթե a<0Աջ մասը քեզ ոչինչ չի հիշեցնո՞ւմ: Չէ՞ որ նույն կերպ է սահմանվում a թվի մոդուլը՝ |a|={a, եթե a≥0−a, եթե a<0Ուրեմն, a2−−√ և |a| թվերը համընկնում են:Այսպիսով, ապացուցեցինք a2−−√=|a| կարևոր նույնությունը:

a -ի դերում կարող է լինել ցանկացած թվային կամ հանրահաշվական արտահայտություն:

=kx ֆունկցիանԾանոթանանք նոր ֆունկցիայի հետ՝ y=kxk գործակիցը կարող է ընդունել ցանկացած արժեքներ, բացի k=0դեպքից: Սկզբում դիտարկենք k=1դեպքը: Այսպիսով, խոսքը y=1x ֆունկցիայի մասին է:y=1x ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար x անկախ փոփոխականին տանք մի քանի որոշակի արժեքներ և y=1x բանաձևով հաշվենք y կախյալ փոփոխականի համապատասխան արժեքները: Հարմար է սկզբում արգումենտին տալ դրական արժեքներ, հետո կդիտարկենք նաև բացասականները:Առաջին քայլ:Եթե x=1, ապա y=1(հիշիր, որ մենք օգտվում ենք y=1xբանաձևից):Եթե x=2, ապա y=12եթե x=4, ապա y=14եթե x=8, ապա y=18եթե x=12, ապա y=2եթե x=14, ապա y=4եթե x=18, ապա y=8Այսպիսով, լրացրինք հետևյալ աղյուսակը:

x1248121418
y1121418248

xOy հարթության վրա կառուցենք գտնված կետերը:

1_1.png

Երկրորդ քայլ:Եթե x=−1, ապա y=−1,եթե x=−2, ապա y=−12եթե x=−4, ապա y=−14եթե x=−8, ապա y=−18եթե x=−12, ապա y=−2եթե x=−14, ապա y=−4եթե x=−18, ապա y=−8Լրացրինք հետևյալ աղյուսակը:

x−1−2−4−8−12−14−18
y−1−12−14−18−2−4−8

xOy հարթության վրա կառուցենք գտնված կետերը:

1_2.png

Երրորդ քայլ: Հիմա միացնենք առաջին երկու քայլերը: Նույն գծագրի վրա կառուցենք առաջին և երկրորդ գրաֆիկները:

1_3.png

Սա հենց y=1x ֆունկցիայի գրաֆիկն է: Այն կոչվում է հիպերբոլ:

Թվարկենք հիպերբոլի մի քանի երկրաչափական հատկություններ, որոնք բխում են կառուցված գրաֆիկից:Նախ և առաջ, նկատում ենք, որ առաջին և երրորդ քառորդներով և կոորդինատների O սկզբնակետով անցնող ցանկացած ուղիղ հիպերբոլը հատում է երկու կետերում, որոնք ընկած են O կետից հավասար հեռավորությունների վրա, բայց տարբեր կողմերում: Այդպիսին են, օրինակ՝ (1;1) և (−1;−1), (2;12) և (−2;−12) և այլ կետեր:1) Հետևաբար, O կետը հիպերբոլի համաչափության կենտրոնն է: Կամ ասում են, որ հիպերբոլը կենտրոնական համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ:2) Հիպերբոլը բաղկացած է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ համաչափ երկու մասերից, որոնք կոչվում են հիպերբոլի ճյուղեր:3) Նկատում ենք, որ հիպերբոլի ճյուղերը մի ուղղությամբ անընդհատ մոտենում են աբսցիսների առանցքին, իսկ մյուս ուղղությամբ՝ օրդինատների առանցքին: Այդպիսի դեպքերում համապատասխան ուղիղները անվանում են ասիմպտոտներ:Այսպիսով y=1x ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ հիպերբոլն ունի երկու ասիմպտոտ՝ x -երի առանցքը և y -երի առանցքը:Եթե ուշադիր նայենք կառուցված գրաֆիկին, ապա կնկատենք հիպերբոլի ևս մեկ հատկություն:4) Հիպերբոլն ունի համաչափության առանցք, որը տրվում է y=xհավասարմամբ:Այսպիսով, հիպերբոլն ունի և՛ համաչափության կենտրոն, և՛ համաչափության առանցք:Իրոք, դիտարկենք y=x ուղիղը:

1_4.png

Հիմա նկատում ենք, որ (2;12) և (12;2) կետերը գտնվում են նույն հեռավորության վրա տարված ուղղից, բայց՝ տարբեր կողմերում: Նրանք համաչափ են տարված ուղղի նկատմամբ: Նույնը կարելի է ասել նաև (4;14) և (14;4),(8;18)և(18;8) և շատ ուրիշ կետերի մասին: Դա նշանակում է, որ y=x ուղիղը համաչափության առանցք է y=1xհիպերբոլի համար:Հիպերբոլն ունի համաչափության ևս մեկ առանցք, դա երկրորդ և չորրորդ քառորդներով և կոորդինատների սկզբնակետով անցնող y=−x ուղիղն է: